Movimiento Parabolico.

El movimiento parabólico es de caída libre en un marco de referencia móvil. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad de un proyectil permanece constante, mientras su componente vertical independientemente esta sujeta a una aceleración constante hacia abajo.

Utilizando el movimiento parabólico realizado en el laboratorio como ejemplo hemos aprendido como armar modelos para resolver problemas de cinemática.

MOVIMIENTO PARABÓLICO

Supondremos que el proyectil parte del origen con una velocidad V₀ que forma un ángulo θo con la horizontal. Las componentes iniciales de la velocidad son V₀x = V_o cosθ₀ ; V_oy = V₀ senθ₀.

Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones anteriores, se obtienen las ecuaciones cinemáticas del movimiento de un proyectil:

ax = 0

ay = - g

Vx = V_o cosθ_o

Vy = - gt + V_o senθ_o

x = V_o cosθ_o t

y = - ½ g t² + V_o senθ_o t

Las preguntas que pueden surgir son:

1. ¿Cuál es la trayectoria del proyectil?

De las ecuaciones paramétricas X y Y, eliminemos el tiempo:

Tenemos una ecuación de la forma: y = - ax²+bx , que es la ecuación de una parábola.

b) ¿Cuál es la velocidad del proyectil en un momento dado?

Por el teorema de Pitágoras, la magnitud es: v = V²x + V²y , y el ángulo que forma con la horizontal es:

c) ¿Cuál es su máxima altura?

Esto sucede cuando su velocidad vertical se anula:

Vy = 0 = - g t + Vo senθ.

De aquí se despeja el tiempo:

t = V_o senθ_o

g

Y lo llevamos a la ecuación que nos da la ordenada y, que llamamos ahora

La altura máxima Y.

Y = V²_o sen²θ_o

2g

1. ¿Cuál es el alcance?

Es el valor de x cuando el proyectil ha llegado al suelo, es decir, para y=0; esto nos da:

0 = - ½ g t ² + Vo senθ_o t = ( - ½ g t + Vo senθ_o ) t:

t = 2V_o senθ_o_

g

Y lo llevamos a la ecuación de x, que llamamos ahora el alcance de x.

X = V_o cosθ_o 2V_o senθ_o_

g

Y como sabemos que 2cosθo senθo = sen2θo, se tiene:

X = V²_o_ sen2θ_o

g

2. ¿Para qué valor del ángulo inicial θo el alcance es máximo?

El alcance es máximo cuando sen2θo es máximo, es decir, cuando sen2θo = 1. Por lo tanto, el ángulo 2θo es igual a 90° y θo es igual a 45°.

Si el proyectil es lanzado horizontalmente, con velocidad Vo desde el origen, las ecuaciones cinemáticas se simplifican y se obtiene:

ax = 0 ay = -g

Vy = V₀ V_y = -g t

x = V₀ t y = - ½ g t ²

Estas ecuaciones se simplifican aun más si se toma el eje y hacia abajo. En este caso, g es positiva y las ecuaciones se escriben:

ax = 0 ay = g

Vy = V_o Vy = g t

x = V_o t y = ½ g t ²